Question

在△OAB的邊OA、OB上分別有一點(diǎn)P、Q，已知：=1：2，：=3：2，連接AQ、BP，設(shè)它們交于點(diǎn)R，若=，=．
（Ⅰ）用與表示；
（Ⅱ）過(guò)R作RH⊥AB，垂足為H，若||=1，||=2，與的夾角，求的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)點(diǎn)P在邊OA上且：=1：2，點(diǎn)Q在邊OB上且：=3：2，我們易將向量和表示成，．再根據(jù)AQR三點(diǎn)共線，BPR三點(diǎn)共線，我們可以分別得到兩個(gè)關(guān)于，的分解形式，利用平面向量的基本定理，易構(gòu)造關(guān)于λ，μ的方程，進(jìn)而可用與表示；
（II）由||=1，||=2，與的夾角，結(jié)合（I）的結(jié)論及RH⊥AB，我們易求出的取值范圍．
解答：解：（I）由=，點(diǎn)P在邊OA上且：=1：2，
可得（-），
∴．同理可得．（2分）
設(shè)，
則=+-）=（1-λ）+，
=+-b）=+（1-μ）．（4分）
∵向量與不共線，
∴解得
∴+．（5分）
（II）設(shè)，則（-），
∴（-）-（+）+=+（．（6分）
∵，
∴，
即[+（]•（-）=0²+（²+•=0（8分）
又∵||=1，||=2，•=||||cosθ=2cosθ，
∴
∴．（10分）
∵，
∴，
∴5-4cosθ∈[3，7]，
∴．
故的取值范圍是．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的定理及其意義，向量的模，其中根據(jù)平面向量的基本定理，得到A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，=+（其中O為直線AB外任一點(diǎn)，且λ+μ=1是解答的關(guān)鍵．