Question

【題目】已知橢圓的離心率，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線與相交于A，B兩點，的周長為。

(1)求橢圓的方程；

(2)是否存在直線使為直角，若存在求出此時直線的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）故不存在直線使為直角

【解析】

（1）由離心率為得ac，由△F1AB周長為4可求得a值，進而求得b值；

（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，利用設(shè)而不求思想進行轉(zhuǎn)化求解即可．

（1）∵橢圓離心率為，∴，∴ac，

又△F1AB周長為4，∴4a＝4，解得a，∴c＝1，b，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）橢圓C的右焦點（1，0），

①當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l與橢圓C交于（，）．（1，）兩點，顯然不存在滿足條件的直線．

②當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l：y＝kxk代入，

消y得，（2+3k2）x2-6k2x+3k2﹣6＝0，

由于直線l經(jīng)過橢圓 C左焦點，所以直線l必定與橢圓C有兩個交點，

則△＞0恒成立

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2，x1x2，

若為直角，則0，即x1x2+y1y2＝0 （*）

而y1y2＝（kx1k）（kx2k）＝k2x1x2k2（x1+x2）+k2，代入（*）式得，

（1+k2）x1x2k2（x1+x2）+k2＝0，

即（1+k2）k2k2＝0，解得k2，

所以不存在k使得為直角．