Question

16．已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是首項為20的等差數(shù)列，其公差d≠0，且a₁，a₄，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，當(dāng)S_n＞0時，求n的最大值；
（Ⅲ）設(shè)b_n=5-$\frac{{a}_{n}}{4}$，求數(shù)列{$\frac{1}{_{2n}_{2n+2}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比數(shù)列中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得公差d，即可得到所求通項公式；
（Ⅱ）求得S_n，解不等式-$\frac{20}{9}$（n²-10n）＞0，即可得到所求n的最大值；
（Ⅲ）求得b_n=-$\frac{10}{9}$（1-n），數(shù)列$\frac{1}{_{2n}_{2n+2}}$=$\frac{81}{100}$•$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{81}{200}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是首項為20的等差數(shù)列，其公差d≠0，
且a₁，a₄，a₅成等比數(shù)列，
可得a₄²=a₁a₅，
即為（20+3d）²=20（20+4d），
解得d=-$\frac{40}{9}$（d=0舍去），
數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=20-$\frac{40}{9}$（n-1）=$\frac{220-40n}{9}$；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
可得S_n=20n-$\frac{1}{2}$n（n-1）•$\frac{40}{9}$=-$\frac{20}{9}$（n²-10n）＞0，
解得0＜n＜10，
則n的最大值為9；
（Ⅲ）b_n=5-$\frac{{a}_{n}}{4}$=5-$\frac{55-10n}{9}$=-$\frac{10}{9}$（1-n），
數(shù)列$\frac{1}{_{2n}_{2n+2}}$=$\frac{81}{100}$•$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{81}{200}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
可得前n項和T_n=$\frac{81}{200}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{81}{200}$×（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{81n}{100（2n+1）}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，同時考查等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．