Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2，g(x)=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0，
(Ⅰ)若a=2，求曲線(xiàn)y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線(xiàn)方程；
(Ⅱ)是否存在負(fù)數(shù)a，使f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)a=2時(shí)，，則，
曲線(xiàn)y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線(xiàn)斜率k=g′(1)=7，
又F(1)=6，
曲線(xiàn)y=g(x)在點(diǎn)(l，g(1))處的切線(xiàn)的方程為y-6=7（x-1）， 即y=7x-1．
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=ax+lnx-a²x²(x＞0)，
假設(shè)存在負(fù)數(shù)a，使得f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立．
即當(dāng)x＞0時(shí)，h(x)的最大值小于等于零，
，
令，可得（舍去），
當(dāng)時(shí)，單增；
當(dāng)時(shí)，單減，
所以，h(x)在處有極大值，也是最大值，
∴，解得：，
所以，負(fù)數(shù)a存在，它的取值范圍是。