Question

3．設f（x）=e^x，f（x）=g（x）-h（x），且g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，若存在實數(shù)m，當x∈[-1，1]時，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，則m的最小值為1．

Answer 1

分析 由F（x）=g（x）+h（x）及g（x），h（x）的奇偶性可求得g（x），h（x），進而可把mg（x）+h（x）≥0表示出來，分離出參數(shù)后，求函數(shù)的最值問題即可解決．

解答 解：由f（x）=g（x）-h（x），即e^x=g（x）-h（x）①，得e^-x=g（-x）-h（-x），
又g（x），h（x）分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，所以e^-x=g（x）+h（x）②，
聯(lián)立①②解得，g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），h（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）．
mg（x）+h（x）≥0，即m•$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）+$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）≥0，也即m≥$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，即m≥1-$\frac{2}{1+{e}^{-2x}}$
∵1-$\frac{2}{1+{e}^{-2x}}$＜1，∴m≥1．
∴m的最小值為1．
故答案為：1

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性及函數(shù)恒成立問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大．