Question

（本題滿分14分）

已知二次函數(shù)+的圖象通過原點(diǎn)，對(duì)稱軸為，.是的導(dǎo)函數(shù)，且 .

（1）求的表達(dá)式（含有字母）；

（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）在（2）條件下，若，，是否存在自然數(shù),使得當(dāng)時(shí)恒成立?若存在,求出最小的；若不存在,說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：（I）由已知，可得，，        …… 1分

∴解之得，       ……3分

               …… 4分

（II）                     …… 5分

=       …… 8分（III）

                    …… 10分

     （1）

     （2）

（1）—（2）得：   … 12分

=，即,當(dāng)時(shí)，  … 13分

，使得當(dāng)時(shí)，恒成立        …… 14分

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

點(diǎn)評(píng)：若已知遞推公式為的形式求通項(xiàng)公式常用累加法。

注：①若是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;

②若是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;

③是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;

④是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。