Question

若()ⁿ的展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求：

（1）展開(kāi)式中含ｘ的一次冪的項(xiàng)；

（2）展開(kāi)式中所有ｘ的有理項(xiàng)；

（3）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

Answer 1

思路解析：此類問(wèn)題，應(yīng)首先確定ｎ的值，然后再逐題求解.而確定ｎ的值，則需由題中條件，把二項(xiàng)式展開(kāi)式的前三項(xiàng)寫出，據(jù)等差數(shù)列的條件得出.

解：()ⁿ的展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，所以可得

,即n=8.

T_r+1=.

（1）令4-r=1,得ｒ=4，所以ｘ的一次項(xiàng)為T₄₊₁=x.

（2）令4-r∈Z(且0≤r≤8)，所以ｒ=0,4，8時(shí)，

有理項(xiàng)為T₁=x⁴,T₅=x,T₉=.

（3）設(shè)第ｒ項(xiàng)系數(shù)為ｔ，設(shè)第ｋ項(xiàng)系數(shù)最大，則有t_k≥t_k+1且t_k≥t_k-1，

于是∴3≤k≤4.所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)T₃=和第4項(xiàng)T₄=.