Question

以定點(diǎn)A(2，8)和動(dòng)點(diǎn)B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(－4，0)、Q(2，0)．

(1)求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程；

(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使直線y＝kx＋2與上述B點(diǎn)軌跡的交點(diǎn)C，D恰好關(guān)于直線l：y＝2x對(duì)稱？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　⑴設(shè)B(x，y)，依題設(shè)及橢圓定義有：

　　|PA|＋|PB|＝|QA|＋|QB|

　　∴|QB|－|PB|＝|PA|－|QA|＝

　　∴B的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的雙曲線的左支

　　由2a＝2，2c＝6，得b²＝c²－a²＝3²－1²＝8

　　故所求的軌跡方程為(x＋1)²－＝1(x≤－2)

　�、迫舸嬖�，設(shè)交點(diǎn)為C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)∵C、D關(guān)于l：y＝2x對(duì)稱，∴CD中點(diǎn)在l上，y₁＋y₂＝2(x₁＋x₂)…①．又C、D在直線y＝kx＋2上，∴y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋4…②，由①、②得x₁＋x₂＝……③由得(8－k²)x²＋4(2－k)x－4＝0

　　∴x₁＋x₂＝－……④．由③、④得解得k＝

　　但k_CD·k＝≠－1，故直線CD與l垂直∴這樣的實(shí)數(shù)k不存在