Question

已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）的圖象的一部分如下圖所示． 
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[-

π

4

，

5π

6

]時，求函數(shù)y=f（x）+f（x+

π

3

）的最大值與最小值及相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）由圖可知 A=1，

1

4

•

2π

ω

=

π

12

-（-

π

6

 ），求得ω=2，取點（

π

12

，1）為五點法作圖的第一個點，
則 2×

π

12

+∅=0，求得∅值，即得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）因為 y=f（x）+f（x+3），求得y=cos（2x+

π

6

 ），據(jù)x∈[-

π

4

，

5π

6

]，得 2x+

π

6

∈[-

π

3

，

11π

6

]，
根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，求出最值．

解答：解：（1）由圖可知：A=

1- (-1)

2

，

1

4

•

2π

ω

=

π

12

-（-

π

6

 ），∴ω=2，f（x）=cos（2x+∅）．
取點（

π

12

，1）為五點法作圖的第一個點，則：2×

π

12

+∅=0，∴∅=-

π

6

，滿足條件．
∴f（x）=cos（2x-

π

6

 ）．
（2）因為 y=f（x）+f（x+3），∴y=cos（2x-

π

6

 ）+cos[2（x+

π

3

 ）-

π

6

]=cos（2x+

π

6

 ）．
當x∈[-

π

4

，

5π

6

]時，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

11π

6

]，當 2x+

π

6

=0 即  x=-

π

12

 時，y有最大值等于1，
當 2x+

π

6

=

3π

2

，即  x=

5π

12

 時，y有最小值等于-1．

點評：本題考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）的解析式 為f（x）=cos（2x-

π

6

 ），是解題的關(guān)鍵．