Question

直線l過原點(diǎn)交橢圓16x²+25y²=400于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于直線l過原點(diǎn)，則當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，AB即為短軸長(zhǎng)2b=8，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx，聯(lián)立橢圓方程，求出交點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)距離，再化簡(jiǎn)整理，求出AB的范圍，即可得到最小值．

解答： 解：橢圓16x²+25y²=400，即為

x2

25

+

y2

16

=1．則a=5，b=4，
由于直線l過原點(diǎn)，則當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，AB即為短軸長(zhǎng)2b=8，
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx，代入橢圓方程得x=±

20

16+25k2

，
則設(shè)A（

20

16+25k2

，

20k

16+25k2

），B（-

20

16+25k2

，-

20k

16+25k2

），
則|AB|=

1600(1+k2) 16+25k2

=40•

1 25- 9 1+k2

，
由于1+k²≥1，則|AB|∈（8，10]，
則最小值為8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，解交點(diǎn)，考查兩點(diǎn)的距離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．