Question

如圖，四棱錐P—ABCD底面為一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，側面PAD⊥底面ABCD．

(1)求證：平面PCD⊥平面PAD；

(2)若AB=2，CD=4，側面PBC是一邊長等于10的正三角形，求對角線AC與側面PCD所成的角的正弦值．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵側面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，CD平面ABCD， ∴CD⊥平面PAD． 又∵CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD． (2)解：作AE⊥PD于E，連結CE， ∵平面PAD⊥平面PCD， ∴AE⊥平面PCD，故∠ACE就是AC與平面PCD所成的角． 在直角梯形BADC中，AB=2，BC=10，CD=4， ∴AD2=BC2-(CD—AB)2=96． ∴AD=． 在Rt△CDP中,PD=． 在Rt△PAB中，同樣可求PA=． 在等腰三角形PAD中，PA=,PD=,AD=,∴AE=5． 在Rt△AEC中，sinACE=． 點評：(1)的證明過程是先用面面垂直的性質，得到CD⊥平面PAD，然后利用面面垂直的判定定理得到平面PCD⊥平面PAD． (2)利用平面ADP⊥平面CDP得到AE⊥平面PDC，從而找到了AC與平面PDC所成的角∠ACE，再用其他條件求出sinACE．