Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線l的傾斜角的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)焦距，求得a和b的關(guān)系，利用離心率求得a和b的另一公式聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0大于k和b的不等式關(guān)系，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得k和b的關(guān)系，進(jìn)而求得b的范圍，分別看b≥3和b≤-3兩種情況，求得k的范圍，則直線的傾斜角的范圍可得．
解答：解：（1）依題意可知求得a=3，b=1
∴橢圓的方程為：=1
（2）直線l不與坐標(biāo)軸平行，設(shè)為y=kx+b（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程：則（9+k²）x²+2kbx+b²-9=0
△=（2kb）²-4（9+k²）（b²-9）＞0，k²-b²+9＞0
x₁+x₂=-，x₁x₂=
MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)=（x₁+x₂）=-
所以x₁+x₂=-1，可得所以9+k²=2kb，
整理得（k-b）²=b²-9≥0，故b²≥9，解得b≥3或b≤-3
又b（b-2k）＜0
所以b≥3時(shí)，b-2k＜0，k＞≥
b≤-3＜0時(shí)，b-2k＞0，k＜≤-
所以k的取值范圍為（-∞，-）∪（，+∞）
直線l的傾斜角的取值范圍為：（arctan，）∪（，π-arctan）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，通常有兩種方法：一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問(wèn)題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問(wèn)題（包括公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問(wèn)題；二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關(guān)系．