Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c在[-1，0]上有零點(diǎn)，且|f（1）|≤1，記f（x）的最小值為M，則M的取值范圍為[-$\frac{25}{16}$，0]．

Answer 1

分析 利用根的判別式推導(dǎo)出-3≤c≤0，M=c-$\frac{^{2}}{4}$≤0，由f（1）=1+b+c≥-1，得到M≥f（-$\frac{2}$）=-$\frac{^{2}}{4}$+c，由f（-1）=1-b+c≥0，得到b≤-$\frac{1}{2}$，從而M=-$\frac{^{2}}{4}$-b-2，（-2$≤b≤-\frac{1}{2}$），當(dāng)b=-$\frac{1}{2}$時(shí)，M取最小值-$\frac{25}{16}$．由此能求出M的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+bx+c在[-1，0]上有零點(diǎn)，且|f（1）|≤1，記f（x）的最小值為M，
∴若△=b²-4c=0，則M=$\frac{^{2}}{4}-\frac{^{2}}{2}+c$，存在0＜f（1）≤1，
若△=b²-4c＞0，則$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（0）≤0}\\{f（1）≥-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c≥0}\\{c≤0}\\{1+b+c≥-1}\end{array}\right.$，
解得-3≤c≤0，
∴M=$\frac{^{2}}{4}-\frac{^{2}}{2}$+c=c-$\frac{^{2}}{4}$≤0，
∵-3≤c≤0，f（1）=1+b+c≥-1，
M≥f（-$\frac{2}$）=-$\frac{^{2}}{4}$+c，當(dāng)1+b+c=-1時(shí)，取等號(hào)，
∵f（-1）=1-b+c≥0，∴b≤-$\frac{1}{2}$，
∵c=-2-b≤0，b≥-2，
∴M=-$\frac{^{2}}{4}$-b-2，（-2$≤b≤-\frac{1}{2}$），
當(dāng)b=-$\frac{1}{2}$時(shí)，M取最小值-$\frac{25}{16}$．
∴M的取值范圍為[-$\frac{25}{16}$，0]．
故答案為：[-$\frac{25}{16}$，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最小值的取值范圍的求法，考查二次函數(shù)、零點(diǎn)、函數(shù)最值、根的差別式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．