Question

在直角坐標平面上有一點列P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)，…對每個正整數n，點P_n位于函數的圖象上，且P_n的橫坐標構成以為首項，－1為公差的等差數列{x_n}．

(1)求點P_n的坐標；

(2)設拋物線列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線C_n的頂點為P_n且過點D_n(0，n²＋1)，記過點D_n且與拋物線C_n只有一個交點的直線的斜率為k_n，求證：．

(3)設，，等差數列{a_n}的任一項a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大數，－265＜a₁₀＜－125，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)∵Pn的橫坐標構成以為首項，－1為公差的等差數列{xn} 　　∴ 　　∵位于函數的圖象上 　　∴ 　　∴點Pn的坐標為 　　(2)據題意可設拋物線Cn的方程為： 　　即 　　∵拋物線Cn過點Dn(0，n2＋1) 　　∴ 　　∴∴ 　　∵過點Dn且與拋物線Cn只有一個交點的直線即為以Dn為切點的切線 　　∴ 　　∴(n≥2) 　　∴ 　　 　　∴ 　　(3)∵ 　　∴S∩T中的元素即為兩個等差數列{－2n－3}與{－12n－5}中的公共項，它們組成以－17為首項，以－12為公差的等差數列 　　∵，且{an}成等差數列，a1是S∩T中的最大數 　　∴a1＝－17，其公差為 　　1°當k＝1時， 　　此時∴不滿足題意，舍去 　　2°當k＝2時， 　　此時∴ 　　3°當k＝3時， 　　此時∴不滿足題意，舍去 　　4°k＞3時，不滿足題意． 　　綜上所述所求通項為