Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E是BC上一點且BE=$\frac{2}{3}$BC，PB⊥AE．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAE；
（Ⅱ）求點C到平面PDE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AE⊥平面PAB，可得AE⊥AB．利用PA⊥AB，即可證明AB⊥平面PAE；
（Ⅱ）由V_P-ECD=V_C-PDE得點C到平面PDE的距離．

解答 （Ⅰ）證明：由已知可得：AD∥EC，且AD=EC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴AE∥CD，且AE=CD=2．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又∵PB⊥AE，PB∩PA=P，
∴AE⊥平面PAB，又AB?平面PAB，
∴AE⊥AB．
又∵PA⊥AB，PA∩AE=A，
∴AB⊥平面PAE，…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知△ABE是直角三角形且∠AEB=60°，
從而有△CDE是邊長為2的等邊三角形．
設C到平面PDE的距離為h，
由V_P-ECD=V_C-PDE得$\frac{1}{3}$S_△ECD•PA=$\frac{1}{3}$S_△PDE•h，
解得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
即C到平面PDE的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判斷與性質，考查點到平面距離的計算，考查三棱錐體積的計算，屬于中檔題．