Question

已知橢圓方程為，過右焦點(diǎn)斜率為1的直線到原點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓方程.

(2)已知為橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為過點(diǎn)且垂直軸的直線，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)為以為直徑的圓與直線的一個(gè)交點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)由過右焦點(diǎn)斜率為1的直線到原點(diǎn)的距離為可以得到右焦點(diǎn)坐標(biāo)，即的值.再由公式可得橢圓方程.此處注意因?yàn)槭怯医裹c(diǎn)，即焦點(diǎn)在軸上，從而得到對(duì)應(yīng)的分母1即為；（2）由點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立橢圓方程求出的坐標(biāo).易知直線的方程，所以易求得點(diǎn)坐標(biāo)，由圓的性質(zhì)知，則只要就有直線、重合，即三點(diǎn)共線.因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)已求得，可通過向量數(shù)量積予以證明.注意本題如選擇求點(diǎn)坐標(biāo)則將較為繁瑣，增加了解題的計(jì)算量，這里合理利用圓的直徑對(duì)應(yīng)的圓周角是直角這一性質(zhì)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

試題解析：（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，則過右焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為：    1分

則原點(diǎn)到直線的距離                         3分

方程                                                    4分

（2）點(diǎn)坐標(biāo)為                                              5分

設(shè)直線方程為：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

得：                     6分

       7分    9分

    10分

由圓的性質(zhì)得：

又點(diǎn)的橫坐標(biāo)為    點(diǎn)的坐標(biāo)為    11分

     11分           13分

即，又三點(diǎn)共線                14分 

考點(diǎn)：1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；2.直線的方程；3.平面向量的應(yīng)用.