Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2AB=2，E、F分別為BC與PD的中點．
（1）求證：PE⊥DE；
（2）求直線CF與平面PAC的夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，利用向量的方法證明：PE⊥DE；
（2）求出面PAC的法向量，即可求直線CF與平面PAC的夾角θ的余弦值．

解答 解：（1）如圖建立空間直角坐標系，則P（0，0，2），E（1，1，0），D（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PE}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{DE}$=（1，-1，0），
∵$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DE}$=0，
∴PE⊥DE  …（5分）
（2）C（1，2，0）F（0，1，1）A（0，0，0）設面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{AC}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}z=0\\ x+2y=0\end{array}\right.$取$\overrightarrow{n}$=（2，-1，0）
 又∵$\overrightarrow{CF}$=（-1，-1，1）…（8分）
∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{CF}，\overrightarrow n＞}|=\frac{1}{{\sqrt{3}•\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{15}}}$…（11分）
即知$cosθ=\frac{{\sqrt{14}}}{{\sqrt{15}}}=\frac{{\sqrt{210}}}{15}$…（12分）

點評 本題考查向量方法的運用，考查線線垂直，線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．