Question

 （2009福建卷理）（本小題滿分13分）

如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動

賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數

y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的圖象，且圖象的最高點為

S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽

運動員的安全，限定MNP=120

（I）求A , 的值和M，P兩點間的距離；

（II）應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？                                                  

Answer 1

本小題主要考查三角函數的圖象與性質、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力以及應用數學知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，

解法一

（Ⅰ）依題意，有，，又，。

當 是，

 又

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，

設∠PMN=，則0°<<60°

由正弦定理得

,

故

0°<<60°，當=30°時，折線段賽道MNP最長

亦即，將∠PMN設計為30°時，折線段道MNP最長

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得∠MNP=

即

故

從而，即

當且僅當時，折線段道MNP最長

注：本題第（Ⅱ）問答案及其呈現方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設計方式，還可以設計為：①；②；③點N在線段MP的垂直平分線上等