Question

12．若不等式|x-1|+|2x+2|≥a²+$\frac{1}{2}$a+2對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍為$[-\frac{1}{2}，0]$．

Answer 1

分析 |x-1|+|2x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥1}\\{x+3，-1＜x＜1}\\{-3x-1，x≤-1}\end{array}\right.$，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得最小值為：2．不等式|x-1|+|2x+2|≥a²+$\frac{1}{2}$a+2轉(zhuǎn)化為：2≥a²+$\frac{1}{2}$a+2，解出即可得出．

解答 解：∵|x-1|+|2x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥1}\\{x+3，-1＜x＜1}\\{-3x-1，x≤-1}\end{array}\right.$，可得最小值為：2．
∴不等式|x-1|+|2x+2|≥a²+$\frac{1}{2}$a+2轉(zhuǎn)化為：2≥a²+$\frac{1}{2}$a+2，解得$-\frac{1}{2}≤a≤0$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{1}{2}，0]$．
故答案為：$[-\frac{1}{2}，0]$．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．