Question

13．以橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，A是橢圓C的右頂點(diǎn)，直線AP，AQ分別與y軸交于點(diǎn)M，N，問：以MN為直徑的圓是否恒過x軸上的定點(diǎn)？若恒過x軸上的定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不恒過x軸上的定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ ab=\sqrt{3}\end{array}\right.$，從而解得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）易知$A（\sqrt{3}，0）$，設(shè)M（0，m），N（0，n），P（x₀，y₀），從而可得$\frac{{{x_0}^2}}{3}+{y_0}^2=1$，且Q（-x₀，-y₀），$\overrightarrow{AP}=（{x_0}-\sqrt{3}，{y_0}）$，$\overrightarrow{AM}$=（-$\sqrt{3}$，m），從而化簡(jiǎn)可得$m=\frac{{-\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}-\sqrt{3}}}$，$n=\frac{{-\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{3}}}$．假設(shè)存在滿足題意的x軸上的定點(diǎn)R（t，0）化簡(jiǎn)可得t²=-$\frac{3{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，再結(jié)合3${{y}_{0}}^{2}$=3-${{x}_{0}}^{2}$解得．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ ab=\sqrt{3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=1\end{array}\right.$故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）$A（\sqrt{3}，0）$，設(shè)M（0，m），N（0，n），P（x₀，y₀），
則由題意，可得$\frac{{{x_0}^2}}{3}+{y_0}^2=1$，
且Q（-x₀，-y₀），$\overrightarrow{AP}=（{x_0}-\sqrt{3}，{y_0}）$，$\overrightarrow{AM}$=（-$\sqrt{3}$，m），
因?yàn)锳，P，M三點(diǎn)共線，所以$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{AM}$，
故有$（{x_0}-\sqrt{3}）m=-\sqrt{3}{y_0}$，解得$m=\frac{{-\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}-\sqrt{3}}}$．
同理，可得$n=\frac{{-\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{3}}}$．
假設(shè)存在滿足題意的x軸上的定點(diǎn)R（t，0），則有$\overrightarrow{RM}⊥\overrightarrow{RN}$，即$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}=0$．
因?yàn)?\overrightarrow{RM}=（-t，m）$，$\overrightarrow{RN}=（-t，n）$，
所以t²+mn=0，即${t^2}+\frac{{-\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}-\sqrt{3}}}×\frac{{-\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{3}}}=0$，
整理得，t²=-$\frac{3{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-3}$，
又∵3${{y}_{0}}^{2}$=3-${{x}_{0}}^{2}$，∴t²=1，
解得t=1或t=-1．
故以MN為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)（-1，0），（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想及學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．