Question

如圖所示，在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB₁C₁C⊥底面ABC．
（1）若D是BC的中點．求證：AD⊥CC₁；
（2）過側面BB₁C₁C的對角線BC₁的平面交側棱于M，若AM=MA₁，求證：截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C；
（3）若截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C..求證：AM=MA₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）先證明平面ABC⊥平面BB₁C₁C，可知AD⊥平面BB₁C₁C，從而可證AD⊥CC₁；
（2）取BC₁的中點E，連接DE、ME，先證明MA

∥

.

ED，從而有EM∥AD，由（1）知AD⊥平面BB₁C₁C．即可證明平面BMC₁⊥平面BB₁C₁C．
（3）在圖中，過M作ME⊥BC₁于E，由截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C，可證四邊形MADE為平行四邊形，有AM=DE，可證DE∥CC₁，即可證明AM=MA₁．

解答： 證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，交線為BC．
∴由面面垂直的性質(zhì)定理，
可知AD⊥平面BB₁C₁C．
又平面CC₁?BB₁C₁C，
∴AD⊥CC₁．----------------（4分）
（2）取BC₁的中點E，連接DE、ME．在△BCC₁中，D、E分別是BC、BC₁的中點，
∵M是AA₁的中點（由AM=MA₁知）
∴MA

∥

.

ED，∴EM∥AD，
由（1）知AD⊥平面BB₁C₁C．
∴ME⊥平面BB₁C₁C．
∴平面BMC₁⊥平面BB₁C₁C．-------------（9分）
（3）在圖中，過M作ME⊥BC₁于E，
∵截面MBC₁⊥側面BB₁C₁C，
∴ME⊥側面BB₁C₁C
又AD⊥側面BB₁C₁C，
∴ME∥AD，又AM∥側面BB₁C₁C，平面AMED∩側面BB₁C₁C=DE，
∴AM∥DE，
∴四邊形MADE為平行四邊形，
∴AM=DE，
∵CC₁∥AM，
∴DE∥CC₁，又D為BC中點，
∴E為BC₁中點，
∴AM=DE=

1

2

CC₁
∴AM=MA₁．---------------（14分）

點評：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關系，恰當?shù)奶砑虞o助線是解題的關鍵，屬于基本知識的考查．