Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，前n項和為S_n，且2

Sn

=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=

1

an + an+1

，若b₁+b₂+…+b_n＞1，求正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用公式法可得a_n+1-a_n=2，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，即可寫出通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

1

an + an+1

=

2n+1 - 2n-1

2

．利用裂項相消法求數(shù)列和，即可解得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由2

Sn

=a_n+1，平方得4s_n=(an+1)2，∴4s_n+1=(an+1+1)2．
兩式相減得4a_n+1=(an+1+1)2-(an+1)2，整理得(an+1-1)2-(an+1)2=0，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2．
又∵當(dāng)n=1時，2

a1

=a₁+1，(

a1

-1)2=0，∴a₁=1，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵b_n=

1

an + an+1

=

2n+1 - 2n-1

2

．
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

3

-1+

5

-

3

+…+

2n+1

-

2n-1

=

1

2

（

2n+1

-1），
∴

1

2

（

2n+1

-1）＞1，解得n＞4，
∴正整數(shù)n的最小值為5．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法求數(shù)列的和等知識，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．