Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）在（m，n）上的導(dǎo)函數(shù)為g（x），x∈（m，n），若g（x）的導(dǎo)函數(shù)小于零恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（m，n）上為“凸函數(shù)”．已知當(dāng)a≤2時(shí)，$f（x）=\frac{1}{6}{x^3}-\frac{1}{2}a{x^2}+x$，在x∈（-1，2）上為“凸函數(shù)”，則函數(shù)f（x）在（-1，2）上結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 有極大值，沒有極小值
• B． 沒有極大值，有極小值
• C． 既有極大值，也有極小值
• D． 既無極大值，也沒有極小值

Answer 1

分析 求導(dǎo)，由題意可知：g′（x）=x-a＜0，g′（x）＜0，x∈（-1，2）時(shí)恒成立，求得a的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系，即可求得函數(shù)的極值．

解答 解：當(dāng)a≤2時(shí)，$f（x）=\frac{1}{6}{x^3}-\frac{1}{2}a{x^2}+x$，求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+1，
由已知得g′（x）=x-a＜0，當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)恒成立，
故a≥2，又已知a≤2，故a=2，
此時(shí)由f′（x）=0，得：x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$∉（-1，2），
當(dāng)x∈（-1，2-$\sqrt{2}$）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2-$\sqrt{2}$，2）時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，2）有極大值，沒有極小值，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系，函數(shù)凹凸性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．