Question

已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極值。

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求b的取值范圍；

（3）證明：對于任意的正整數(shù)，不等式。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

由題意，     解得            ………………………………分

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，則

令   得 

又知

∴ 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減

方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則只需

即

∴ 所求實(shí)數(shù)的取值范圍是        …………………6分

（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，

則 

令    解得   …………分

當(dāng)    時(shí) ，是增函數(shù)

當(dāng)   時(shí) ，是減函數(shù)     ……………………………分

∴ 

∴ 

當(dāng)時(shí)，有 

取  ，得 

即  ．

【解析】略