精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

本題滿分16分）兩個數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足 $數(shù)學公式$ ．★（參考公式 $數(shù)學公式$ ）
求證：{b_n}為等差數(shù)列的充要條件是{a_n}為等差數(shù)列．

證明：∵ $\text{[math]}$ ，∴b_n+1= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ b_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n ①，
$\text{[math]}$ b_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1．②
②減去①可得 $\text{[math]}$ b_n+1- $\text{[math]}$ b_n=（n+1）a_n+1．
兩邊同時除以n+1可得 $\text{[math]}$ b_n+1- $\text{[math]}$ b_n=a_n+1③，
∴ $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n-1=a_n ④．
③減去④可得 a_n+1-a_n=（ $\text{[math]}$ b_n+1- $\text{[math]}$ b_n ）-（ $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n-1 ）
= $\text{[math]}$ b_n+1+b_n+1- $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n+ $\text{[math]}$ b_n-1- $\text{[math]}$ b_n-1
= $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）+ $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）+ $\text{[math]}$ （b_n-b_n-1）- $\text{[math]}$ （b_n-b_n-1）
= $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）+ $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）- $\text{[math]}$ （b_n-b_n-1）．
由于{b_n}為等差數(shù)列的充要條件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常數(shù)d，
此時a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ d+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，是個常數(shù)．
故：{b_n}為等差數(shù)列的充要條件是{a_n}為等差數(shù)列．
分析：由條件可得 $\text{[math]}$ b_n+1- $\text{[math]}$ b_n=a_n+1， $\text{[math]}$ b_n- $\text{[math]}$ b_n-1=a_n，相減可得 a_n+1-a_n═ $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）+ $\text{[math]}$ （b_n+1-b_n ）- $\text{[math]}$ （b_n-b_n-1），由于{b_n}為等差數(shù)列的充要條件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常數(shù)d，此時a_n+1-a_n= $\text{[math]}$ d+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，是個常數(shù)，從而結論成立．
點評：本題主要考查用分析法和綜合法證明數(shù)學命題，體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．

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