Question

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC=2a,BB₁=3a,D為A₁C₁的中點(diǎn)，E為B₁C的中點(diǎn).

（1）求直線BE與A₁C的夾角.

（2）線段AA₁上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B₁DF？若存在，求出||，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.

因?yàn)锳C=2a，∠ABC=90°，

所以AB=BC=a.

所以B（0，0，0），A（a,0，0），C（0，a，0），B₁（0，0，3a），A₁（a，0，3a），C₁（0，a，3a），D（a，a，3a），E（0，a，a），=（a，-a，3a），=(0,a,a).

所以||=a,||=a,

·=0-a²+a²=a².

所以cos(,)=.

所以BE與A₁C的夾角為arccos.

（2）假設(shè)存在F點(diǎn)，使CF⊥平面B₁DF.不妨設(shè)AF=b，則F（2a,0,b），

=(a,-a,b),=(a,0,b-3a),=(a,a,0).

因?yàn)?SUB>·=a²-a²+0=0,

所以⊥恒成立.

由·=2a²+b(b-3a)

=b²-3ab+2a²=0,

得b=a或b=2a.

所以當(dāng)||=a或||=2a時(shí)，CF⊥平面B₁DF.