Question

已知橢圓C：的離心率為，過右頂點A的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且B（-1，-3），
(Ⅰ)求橢圓C和直線l的方程；
(Ⅱ)記曲線C在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D，若曲線x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與區(qū)域D有公共點，試求實數m的最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由離心率e=，得，
即，①
又點B（-1，-3）在橢圓C：上，即，②
解①②得，
故所求橢圓方程為，
由A（2，0），B（-1，-3）得直線l的方程為y=x-2。
(Ⅱ)曲線x²-2mx+y²+4y+m2-4=0，
即圓(x-m)²+(y+2)²=8，其圓心坐標為G（m，-2)，半徑r=2，表示圓心在直線y=-2上，半徑為2的動圓，
要求實數m的最小值，由下圖可知，只須考慮m＜0的情形．

設圓G與直線l相切于點T，則由，得m=±4，
當m=-4時，過點G（-4，-2）與直線l垂直的直線l′的方程為x+y+6=0，
解方程組，得T（-2，-4），
因為區(qū)域D內的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1，2，
所以切點TD，
由圖可知當圓G過點B時，m取得最小值，
即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得m_min=--1。