Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC，△ABC和△ABB1都是邊長(zhǎng)為2的正三角形．
（Ⅰ）過(guò)B1作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并證明；
（Ⅱ）求AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為O，連OC，OB1 ， B1C，則截面OB1C為所求，
證明：OC，OB1分別為△ABC，△ABB1的中線(xiàn)，所以AB⊥OC，AB⊥OB1 ，
又OC，OB1為平面OB1C內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，所以AB⊥平面OB1C，
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OB方向?yàn)閤軸方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易求得B（1，0，0），A（﹣1，0，0）， ，

設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量為 ，
由 解得平面BCC1B1的一個(gè)法向量為 ，
，
所以AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為
【解析】（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為O，連OC，OB1 ， B1C，則截面OB1C為所求，通過(guò)證明AB⊥OC，AB⊥OB1 ， 推出AB⊥平面OB1C．（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OB方向?yàn)閤軸方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCC1B1的一個(gè)法向量，入會(huì)利用空間向量的數(shù)量積求解AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．