Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，則平面B₁D₁E與平面ABCD所成的二面角的余弦值為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用空間向量求二面角，先建立空間直角坐標系，求出各定點坐標，再求出平面B₁D₁E與平面ABCD的法向量，則法向量所成角就是兩個平面所成角或其補角．求出兩個平面的法向量，用向量的夾角公式求法向量所成角，再結合圖象判斷兩平面所成角是銳角還是鈍角．
解答：解：如圖建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1
則D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），E（，1，0），=（1，1，0）=（，1，-1）
設平面B₁D₁E的法向量為=（x，y，z），則，
即取=（2，-2，-1），
∵D₁D⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的法向量為，且=（0，0，1）
∴cos＜，＞===-，
由圖可知平面B₁D₁E與平面ABCD所成的二面角為銳角，
∴平面B₁D₁E與平面ABCD所成的二面角的余弦值為
點評：本題主要考查空間向量法求平面所成角，關鍵是找兩平面的法向量所成角，一定要注意判斷兩平面所成角等于法向量所成角，還是等于其補角．