Question

已知直線l₁：3x-4y-6=0和直線l₂=-

p

2

，若拋物線C：x²=2py（p＞0）上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線l過拋物線C的焦點F與拋物線交于A、B兩點，且AA₁，BB₁都垂直于直線l₂與y軸的交點為Q，求證：

S△QAB2

S△QAA1•S△QBB1

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據拋物線的定義，可得拋物線上一動點P到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值焦點到直線l₁：3x-4y-9=0的距離，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+1，代入拋物線方程，可得x²-4kx-4=0，利用韋達定理，分別求出面積，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：直線l₂=-

p

2

為拋物線C：x²=2py的準線，焦點為（0，

p

2

）
根據拋物線的定義，可得拋物線上一動點P到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為焦點到直線l₁：3x-4y-9=0的距離．
由點到直線的距離公式可得d=

|-2p-6|

5

=2．
∴p=2，
∴拋物線C：x²=4y；
（Ⅱ）證明：設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=kx+1，
代入拋物線方程，可得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4，
∴y₁+y₂=4k²+2，y₁y₂=1，
∵Q（0，-1）到直線l的距離d=

2

1+k2

∴S_△QAB=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

2

1+k2

=|x₁-x₂|．
∵|AA₁|=y₁+1，|BB₁|=y₂+1，
∴

S△QAB2

S△QAA1•S△QBB1

=

|x1-x2|2

1 2 (y1+1)|x1|• 1 2 (y2+1)|x2|

=

4(16k2+16)

4(4k2+4)

=4，
∴

S△QAB2

S△QAA1•S△QBB1

為定值．

點評：本題考查拋物線的定義，考查點到直線的距離公式，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積是計算，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．