Question

某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品．

（1）張三選擇方案甲抽獎，李四選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，若X≤3的概率為，求；

（2）若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大？

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，依題意，兩人累計得分的可能值為，故事件“”的對立事件為“”，所以所求事件的概率；（2）因為每次抽獎中獎與否互不影響，且對方案甲或方案乙而言，中獎的概率不變，故對于張三、李四兩人抽獎可看成兩次獨立重復試驗，其中獎次數(shù)服從二項分布，設張三、李四都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則X1～，X2～B，則累計得分的期望為E(2X1)，E(3X2)，從而比較大小即可.

（1）由已知得，張三中獎的概率為，李四中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響．

記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X＝5”，

因為×，所以＝1－×=，所以 . 6分

（2）設張三、李四都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，

則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1)，

選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2)．

由已知可得，X1～，X2～B，

所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×，

從而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝6.

若，即，所以；

若，即，所以；

若，即，所以．

綜上所述：當時，他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大；當時，他們都選擇方案乙進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望較大；當時，他們都選擇方案甲或乙進行抽獎時，累計得分的數(shù)學期望相等. 12分

考點：1、對立事件；2、二項分布的期望.