Question

17．某地區(qū)2011年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：

年份	2011	2012	2013	2014	2015
年份代號(hào)t	1	2	3	4	5
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2011年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2016年農(nóng)村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：$\left\{{\begin{array}{l}{\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x}•\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}}\\{\hat a=\overline y-\hat b\overline x}\end{array}}\right.$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可得橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，橫標(biāo)和縱標(biāo)的積的和，與橫標(biāo)的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問做出的線性回歸方程，代入所給的t的值，預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入，這是一個(gè)估計(jì)值．

解答 解：（1）由題意，$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，
∴$\widehat$=0.49，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$=2.33
∴y=0.49t+2.33；
（2）∵$\hat b=0.49＞0$，∴2011年至2015年該區(qū)人均純收入穩(wěn)步增長．
預(yù)計(jì)到2016年，該區(qū)人均純收入y=0.49•6+2.33=5.27（萬元）
所以，預(yù)計(jì)到2016年，該區(qū)人均純收入約5.27萬元左右．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸分析的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認(rèn)真做出線性回歸方程的系數(shù)，這是整個(gè)題目做對(duì)的必備條件，本題是一個(gè)中檔題．