Question

6．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是AD、CD、DD₁的中點．
（I）證明：平面A₁BC₁∥平面EFG；
（Ⅱ）證明：平面BB₁D₁⊥平面EFG．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結CD₁、CA、AD₁，由已知推導出A₁B∥CF、A₁C₁∥EF、BC₁∥EG，由此能證明平面A₁BC₁∥平面EFG．
（Ⅱ）由已知推導出EF⊥B₁D₁，EF⊥BB₁，由此能證明平面BB₁D₁⊥平面EFG．

解答 證明：（Ⅰ）連結CD₁、CA、AD₁，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是AD、CD、DD₁的中點，
∴GF∥CD₁、EF∥CA、EG∥AD₁，
∵A₁B∥CD₁、A₁C₁∥CA、BC₁∥AD₁，
∴A₁B∥CF、A₁C₁∥EF、BC₁∥EG，
∵CF、EF、EG兩兩相交，
∴平面A₁BC₁∥平面EFG．
（Ⅱ）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，B₁D₁∥BD，EF∥AC，
∴EF⊥B₁D₁，
∵BB₁⊥平面ABCD，∴EF⊥BB₁，
∴EF⊥平面BB₁D₁，
∵EF?平面EFG，∴平面BB₁D₁⊥平面EFG．

點評 本題考查面面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．