Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）點(diǎn)M在線段PC上，PM=$\frac{1}{3}$PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求平面MBQ與平面CBQ夾角的大小．

Answer 1

分析 （1）由題意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，從而AD⊥平面PQB，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面MBQ與平面CBQ的夾角．

解答 證明：（1）由題意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）∵PA=PD=AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，
建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，
由題意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{QM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{QP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{QC}$=（-$\frac{2}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
設(shè)$\overrightarrow{n}$是平面MBQ的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QM}=-\frac{2}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
又∵$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）平面BQC的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴平面MBQ與平面CBQ夾角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．