Question

5．已知兩個關于x的一元二次方程mx²-4x+4=0和x²-4mx+4m²-4m-5=0（m∈Z），若兩方程的根都是整數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)方程根的情況結合二次函數(shù)的性質求出m的范圍，取交集即可．

解答 解：∵mx²-4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程為x²-4mx+4m²-4m-5=0，且兩方程都要有實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=16（1-m）≥0}\\{{△}_{2}=16{m}^{2}-4（4{m}^{2}-4m-5）≥0}\end{array}\right.$，
解得m∈[-$\frac{5}{4}$，1]----（8分）
∵兩方程的根都是整數(shù)，故其根的和與積也為整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{m}∈Z}\\{4m∈Z，4{m}^{2}-4m-5∈Z}\end{array}\right.$
∴m為4的約數(shù)．又∵m∈[-$\frac{5}{4}$，1]，∴m=-1或1．
當m=-1時，第一個方程x²+4x-4=0的根為非整數(shù)；
而當m=1時，兩方程的根均為整數(shù)，
∴兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m=1．

點評 本題考查了m的取值范圍，考查方程根的情況，是一道中檔題．