Question

定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都滿足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）•f（y），已知f（x）在（0，+∞）上的值域?yàn)椋?，1），則f（x）在R上的值域是（ ）
A．R
B．（0，1）
C．（0，+∞）
D．（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)條件，可先令x=y=0，解得f（0）=1，再令y=-x，得f（x）•f（-x）=1，從而結(jié)合f（x）在（0，+∞）上的值域?yàn)椋?，1），解出f（x）在（-∞，0）上的值域，即可得出函數(shù)在R上的值域，選出正確選項(xiàng)
解答：解：因?yàn)槎�義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都滿足f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=y=0可得f（0）=f（0）•f（0），
解得f（0）=1
再令y=-x，則可得f（0）=f（x）•f（-x）=1，
又f（x）在（0，+∞）上的值域?yàn)椋?，1），
所以f（x）在（-∞，0）上的值域?yàn)椋?，+∞）
綜上，f（x）在R上的值域是（0，1）∪（1，+∞）
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)求抽象函數(shù)的值域，處理題設(shè)中所給的恒等式得到相應(yīng)的結(jié)論是解題的關(guān)鍵，此類題需要有一定的觀察推理能力，綜合性強(qiáng)，培養(yǎng)了運(yùn)算能力及推理能力，屬于中檔題