Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）圓與拋物線順次交于四點(diǎn)，所在的直線過焦點(diǎn)，線段是圓的直徑，，求直線的方程..

Answer 1

【答案】（1）；（2）或..

【解析】

(1) 將代入拋物線的方程，得，結(jié)合拋物線定義可得值；

（2）由題設(shè)知與坐標(biāo)軸不垂直，可設(shè)，代入，得.利用韋達(dá)定理可得的中點(diǎn)為及，的方程為，代入，并整理得.利用韋達(dá)定理可得的中點(diǎn)為及，結(jié)合勾股定理即可得到結(jié)果.

解：（1）將代入拋物線的方程，得，所以，

因?yàn)?/span>，所以，整理得，

解得或，

當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，，

所以拋物線的方程為.

（2）由題設(shè)知與坐標(biāo)軸不垂直，可設(shè)，代入，得.

設(shè)，，則，，

故的中點(diǎn)為，.

又因?yàn)?/span>，所以的斜率為，過的中點(diǎn)，

所以的方程為，即.

將上式代入，并整理得.

設(shè)，，則，，故的中點(diǎn)為，.

因?yàn)?/span>是直徑，所以垂直平分，

所以四點(diǎn)在同一個(gè)圓上等價(jià)于，

所以，

即，

化簡得，解得或，

所以或.