Question

已知正方形ABCD,E,F分別是AB,CD的中點,將△ADE沿DE折起,如圖所示.記二面角ADEC的大小為θ(0＜θ＜π).

(1)證明BF∥平面ADE;

(2)若△ACD為正三角形,試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結論,并求角θ的余弦值

                    

Answer 1

(1)證明:E,F分別是正方形ABCD的邊AB,CD的中點,

∴EB∥FD,且EB=FD.

∴四邊形EBFD是平行四邊形.

∴BF∥ED.

∵ED平面AED,而BF平面AED.

∴BF∥平面AED.

(2)解法一:點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,

過點A作AG⊥平面BCDE,垂足為G,連結GC,GD.

∵△ACD為正三角形,

∴AC=AD.∴GC=GD.

∴G在CD的垂直平分線上.

又∵EF是CD的垂直平分線,

∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過G作GH⊥ED,垂足為H,連結AH,則AH⊥DE,

∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.

設原正方形ABCD的邊長為2a,連結AF.

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

∴△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=∴GH=.

∴cosθ=.

解法二:點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,

連結AF,在平面AEF內(nèi)過點A作AG′⊥EF,垂足為G′.

∵△ACD為正三角形,F為CD的中點,

∴AF⊥CD.又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF,∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,

∴AG′⊥平面BCDE.∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.

∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過G作GH⊥ED,垂足為H,連結AH,則AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.

設原正方形ABCD的邊長為2a,

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

∴△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE,

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.

解法三:點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，

連結AF，在平面AEF內(nèi)過點A作AG′⊥EF,垂足為G′.

∵△ACD為正三角形,F為CD中點,

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE,

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,

∴AG′⊥平面BCDE,即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.

∴點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過G作GH⊥DE,垂足為H,連結AH,則AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.

設原正方形ABCD的邊長為2a.

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,

∴△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.