Question

在△ABC中，AD為BC邊上的高，已知：AC=b；AB=c，AD=BC，求

b

c

+

c

b

的最大值．

Answer 1

考點：解三角形

專題：解三角形

分析：由三角形的面積公式可得

1

2

AD•BC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，即a²=bcsin∠BAC．在△ABC中，利用余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos∠BAC．即可得出

b

c

+

c

b

用∠BAC表示，再利用三角函數的單調性即可得出．

解答： 解：∵AD⊥BC，AD=BC=a．
∴

1

2

AD•BC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，
∴a²=bcsin∠BAC，
在△ABC中，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos∠BAC．
∴bcsin∠BAC=b²+c²-2bccos∠BAC，
化為

b2+c2

bc

=sin∠BAC+2cos∠BAC，
令∠BAC=θ，θ∈（0，π）．
則

b

c

+

c

b

=sinθ+2cosθ=

5

sin(θ+φ)，其中φ=arctan2．
當sin（θ+φ）=1時，

b

c

+

c

b

取得最大值

5

．

點評：本題考查了三角形的面積公式、余弦定理、三角函數的單調性、兩角和差的正弦公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．