Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）求證：EF∥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）由BD⊥AC，CC₁⊥平面ABCD，可得BD⊥C₁C，即可證明BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G．可證EG∥AC，EG∥平面ACC₁A₁，同理FG∥平面ACC₁A₁，則平面EGF∥平面ACC₁A₁，由EF?平面EGF，可證EF∥平面ACC₁A₁．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴BD⊥AC，CC₁⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，則BD⊥C₁C，
又∵AC∩C₁C=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．…（6分）
（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G．
∵E、G分別是AB、BC的中點(diǎn)，則EG∥AC，
∵EG?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
∴EG∥平面ACC₁A₁，同理FG∥平面ACC₁A₁．
又∵EG∩FG=G，則平面EGF∥平面ACC₁A₁，
∵EF?平面EGF，
∴EF∥平面ACC₁A₁…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．