Question

12．已知A={x|x=a+b$\sqrt{2}$，a，b∈N}．若集合C={x|x=x₁-x₂，x₁、x₂∈A}，當(dāng)x=a+b$\sqrt{2}$∈C（a、b互質(zhì)）時(shí)．必有$\frac{1}{x}$∈C，則a．b滿足的關(guān)系式a²-2b²=1．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)求出$\frac{1}{x}$的表達(dá)式，結(jié)合元素特點(diǎn)進(jìn)行求解 即可．

解答 解：若x=a+b$\sqrt{2}$，則$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a+b\sqrt{2}}$=$\frac{a-b\sqrt{2}}{{a}^{2}-2^{2}}$=$\frac{a}{{a}^{2}-2^{2}}$-$\frac{{a}^{2}-2^{2}}$$•\sqrt{2}$∈C，
即$\frac{a}{{a}^{2}-2^{2}}$∈N，$\frac{{a}^{2}-2^{2}}$∈N，
∵a、b互質(zhì)，
∴必有a²-2b²=1，
故答案為：a²-2b²=1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查元素和集合關(guān)系的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．