Question

1．定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f（x）+xf'（x）＜xf（x）對x∈R恒成立，則（　　）

• A． $\frac{2}{e}f（2）＜f（1）$
• B． $\frac{2}{e}f（2）＞f（1）$
• C． f（1）＞0
• D． f（-1）＞0

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)，判斷g（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可判斷．

解答 解：∵g（x）=$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f（x）-xf（x）+xf′（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）+xf'（x）＜xf（x），
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上為減函數(shù)，
∴g（2）＜g（1），
∴$\frac{2f（2）}{{e}^{2}}$＜$\frac{f（1）}{e}$，
即$\frac{2f（2）}{e}$＜f（1），
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及利用條件構(gòu)造函數(shù)，考查學(xué)生的解題構(gòu)造能力和轉(zhuǎn)化思想．