Question

【題目】過點作一直線與拋物線交于，兩點，點是拋物線上到直線的距離最小的點，直線與直線交于點.

（Ⅰ）求點的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證：直線平行于拋物線的對稱軸.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）到直線距離最小的點，可根據(jù)點到直線距離公式，取最小值時的點；也可根據(jù)幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點：如根據(jù)點到直線的距離

得當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值，（Ⅱ）要證直線平行于拋物線的對稱軸，就是要證兩點縱坐標(biāo)相等，設(shè)點 ，求出直線AP方程，與直線方程聯(lián)立，解出點縱坐標(biāo)為.同理求出直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，解出點縱坐標(biāo)為.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點的坐標(biāo)為，則，

所以，點到直線的距離

.

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時點坐標(biāo)為.………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)為，顯然.

當(dāng)時，點坐標(biāo)為，直線的方程為；

當(dāng)時，直線的方程為，

化簡得；

綜上，直線的方程為.

與直線的方程聯(lián)立，可得點的縱坐標(biāo)為.

當(dāng)時，直線的方程為，可得點的縱坐標(biāo)為.

此時，

即知軸，

當(dāng)時，直線的方程為，

化簡得，

與拋物線方程聯(lián)立，消去，

可得，

所以點的縱坐標(biāo)為.

從而可得軸，

所以，軸.……………………………………13分