Question

（本小題滿分14分）

已知：向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足：.

求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程；

（2）已知直線、都過點(diǎn)，且，、與軌跡C分別交于點(diǎn)D、E，試探究是否存在這樣的直線？使得△BDE是等腰直角三角形.若存在，指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)解法１：設(shè)------------------------------ 1分

則=>------ 4分

∴動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡為以、為焦點(diǎn)，長軸長為 4的橢圓  -----------------5分

由 ∴ ----------------------------- 6分

∴    動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡 C的方程為   ---------------------------------7分

[解法２：設(shè)點(diǎn)，

則------------------------2分

∵     

∴ ------------------------------ 4分

∴點(diǎn) M 的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長軸長為 4 的橢圓     ------------5分

∴  ∴      --------------------------6分

∴    動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡 C的方程為   ------------------7分]

 (2)由（1）知，軌跡C是橢圓，點(diǎn)是它的上頂點(diǎn)，             

設(shè)滿足條件的直線、存在，直線的方程為----①

則直線的方程為，-------------②--------------------------------------------------------------8分

將①代入橢圓方程并整理得：，可得，則.--9分

將②代入橢圓方程并整理得：，可得，則.---10分

由△BDE是等腰直角三角形得

----③--------12分

∴或-----④-----------------------------------------------------------------------13分

∵方程④的根判別式，即方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且不為1.

∴方程③有三個(gè)互不相等的實(shí)根.

即滿足條件的直線、存在，共有3組．-----------------------------------------------------------14分

（注：只答存在1組，給2分）