Question

 

將邊長(zhǎng)為1的正三角形按如圖所示的方式放置，其中頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合.記邊所在直線(xiàn)的傾斜角為，已知.

（Ⅰ）試用表示的坐標(biāo)（要求將結(jié)果化簡(jiǎn)為形如的形式）；

（Ⅱ）定義：對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)、，稱(chēng)為、兩點(diǎn)間的“taxi距離” ，并用符號(hào)表示.試求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查三角函數(shù)的定義、兩角和與差的三角函數(shù)公式、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿(mǎn)分13分．

解：（Ⅰ）解法一：因?yàn)?sub>，， ……2分

所以        ………3分

.                    ………7分

解法二：平移到（移到，移到），………2分

由的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相等，都等于點(diǎn)的坐標(biāo). ………3分

由平幾知識(shí)易得直線(xiàn)的傾斜角為，

∵，∴根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，

所以.  ………7分

（Ⅱ）解法一：，………8分

∵，∴，    ………9分

∴     ………11分

，              ………12分

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.     ………13分

解法二：，………8分

∵，∴，即，

∴.  ………9分

∵，∴，

∴,   ………10分

+

      ,    ………12分

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.     ………13分