Question

(本小題滿分16分)

已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求出的實(shí)數(shù)的值；

（2）若方程有兩解，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，記，試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

Answer 1

（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，

即，所以或恒成立，故．……4分

（2）方法一：

當(dāng)時(shí)，有兩解，

等價(jià)于方程在上有兩解，

即在上有兩解，………………………………6分

令，

因?yàn)?img width=88 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/234/57734.gif" >，所以故；…………8分

同理，當(dāng)時(shí)，得到；

當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去．

綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是．…………………………………10分

方法二：有兩解，

即和各有一解分別為，和，…………6分

若，則且，即；………………………………8分

若，則且，即；

若時(shí)，不合題意，舍去．

綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是．…………………………………10分

方法三：可用圖象，視敘述的完整性酌情給分．

（3）令

①當(dāng)時(shí)，則，

對(duì)稱軸，函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以此時(shí)函數(shù)的最大值為．

②當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸，

所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

，，

1)若，即，此時(shí)函數(shù)的最大值為；

2)若，即，此時(shí)函數(shù)的最大值為．

③當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，

此時(shí)，

④當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，此時(shí)

綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值

……………………………………………………16分