Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x2+b

，其中b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)b＞0．若?x∈[

1

4

，

3

4

]，使f（x）≥1，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分情況討論：①當(dāng)b=0時，②當(dāng)b＞0時，③當(dāng)b＜0時，然后利用導(dǎo)數(shù)即可求得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）≥1等價于b≤-x²+x，g（x）=-x²+x，則“?x∈[

1

4

，

3

4

]，使得b≤-x²+x”等價于b小于等于g（x）在區(qū)間[

1

4

，

3

4

]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）①當(dāng)b=0時，f（x）=

1

x

．
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；無單調(diào)增區(qū)間．   
②當(dāng)b＞0時，f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

．                           
令f′（x）=0，得x₁=

b

，x₂=-

b

．
f（x）和f′（x）的情況如下：

x	（-∞，- b ）	- b	（- b ， b ）	b	（ b ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

b

），（

b

，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為（-

b

，

b

）．
③當(dāng)b＜0時，f（x）的定義域為D={x∈R|x≠±

-b

}．
因為f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

＜0在D上恒成立，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

-b

），（-

-b

，

-b

），（

-b

，+∞）；無單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）解：因為b＞0，x∈[

1

4

，

3

4

]，
所以f（x）≥1等價于b≤-x²+x，其中x∈[

1

4

，

3

4

]．
設(shè)g（x）=-x²+x，g（x）在區(qū)間[

1

4

，

3

4

]上的最大值為g（

1

2

）=

1

4

．
則“?x∈[

1

4

，

3

4

]，使得b≤-x²+x”等價于b≤

1

4

．
所以b的取值范圍是（0，

1

4

]．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立及函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力．