Question

15．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點P（$\sqrt{3}$，1）且離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F(xiàn)為橢圓的右焦點，過F的直線交橢圓C于M，N兩點，定點A（-4，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若△AMN面積為3$\sqrt{3}$，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得：a²，b²，c．可得橢圓C的方程．
（2）F（2，0）．①若MN⊥x軸，把x=2代入橢圓方程可得：$\frac{4}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y．則S_△AMN≠3$\sqrt{3}$，舍去．
②若MN與x軸重合時不符合題意，舍去．因此可設(shè)直線MN的方程為：my=x-2．把x=my+2代入橢圓方程可得：（m²+3）y²+4my-2=0．可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．利用S_△AMN=$\frac{1}{2}×6×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=3$\sqrt{3}$即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a²=6，b²=2，c=2．
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）F（2，0）．
①若MN⊥x軸，把x=2代入橢圓方程可得：$\frac{4}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
則S_△AMN=$\frac{1}{2}×6×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=2$\sqrt{6}$≠3$\sqrt{3}$，舍去．
②若MN與x軸重合時不符合題意，舍去．因此可設(shè)直線MN的方程為：my=x-2．
把x=my+2代入橢圓方程可得：（m²+3）y²+4my-2=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+3}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-4m}{{m}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{-2}{{m}^{2}+3}}$=$\frac{2\sqrt{6（{m}^{2}+1）}}{{m}^{2}+3}$．

則S_△AMN=$\frac{1}{2}×6×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=3×$\frac{2\sqrt{6（{m}^{2}+1）}}{{m}^{2}+3}$=3$\sqrt{3}$，解得m=±1．
∴直線MN的方程為：y=±（x-2）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計算公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．