Question

下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x³的奇偶性、單調(diào)性均相同的是（　�。�

• A、y=e^x
• B、y=2^x-

  1

  2x

• C、y=ln|x|
• D、y=tanx

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先證明函數(shù)y=x³為R上奇函數(shù)、增函數(shù)，再逐一判斷4個函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可．

解答： 解：函數(shù)y=x³是R上增函數(shù)，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
f（x1）-f（x2）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x22+x1x2）=

1

2

（x1-x2）[（x1+x2）2+x12+x22]；
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁，x₂不全為0，（x1+x2）2+x12+x22＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）=x³是R上的增函數(shù)．
又∵f（-x）=（-x）³=-x³=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
A，-f（x）=-e^x，而f（-x）=e^-x=

1

ex

，故不是奇函數(shù)，不相同．
B，f（-x）=2-x-

1

2-x

=-（2^x-

1

2x

）=-f（x）故為奇函數(shù)，
在R上任取x₁＜x₂有，又∵y=2^x是R上的增函數(shù)，x₁＜x₂，故有2x2＞2x1，

1

2x1

＞

1

2x2

，
故有，2x2-

1

2x2

-（2x1-

1

2x1

）=2x2-2x1+

1

2x1

-

1

2x2

＞0
即f（x）在R上是增函數(shù)，故相同．
C，f（-x）=ln|-x|=ln|x|=f（x），故為偶函數(shù)，不相同．
D，f（-x）=tan（-x）=-tanx=-f（x），為奇函數(shù)，但是由y=tanx的圖象可知，在R上不是增函數(shù)，不相同．
綜上所述，與函數(shù)y=x³的奇偶性、單調(diào)性均相同的是B．
故選：B．

點評：本題主要考察函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．