Question

5．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$，其一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)拋物線x²=-4$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由拋物線x²=-4$\sqrt{3}$y，可得焦點(diǎn)F．由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）．根據(jù)題意可得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²．聯(lián)立解出即可．

解答 解：由拋物線x²=-4$\sqrt{3}$y，可得焦點(diǎn)F$（0，-\sqrt{3}）$．
由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
∵橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$，其一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)拋物線x²=-4$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)．
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²．
解得c=1，a=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．